基于模态阻尼指标的空间杆系结构作动器位置优化

万华平 1，2，马强 1，2，薛宇 1，2，胡鹏华 1，2，葛荟斌 1，2，罗尧治 1，2?; WAN Huaping1，2，MA Qiang1，2，XUE Yu1，2，HU Penghua1，2，GE Huibin1，2，LUO Yaozhi1，2?

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基于模态阻尼指标的空间杆系结构作动器位置优化 PDF

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万华平 ^1,2
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马强 ^1,2
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薛宇 ^1,2
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胡鹏华 ^1,2
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葛荟斌 ^1,2
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罗尧治 ^1,2
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1. 浙江大学建筑工程学院,浙江杭州 310058； 2. 浙江省空间结构重点实验室,浙江杭州 310058

中图分类号： TU311.3； TU352； V414.2

最近更新：2024-07-29

DOI： 10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2024062

摘要

针对空间杆系结构作动器的位置优化问题，本文基于线性二次型最优控制理论（LQR），建立了空间杆系结构振动的主动控制系统，提出了目标控制模态的模态阻尼最大化的作动器位置优化准则. 采用四角锥网架结构和Levy型索穹顶结构来验证本文方法的有效性，并在控制效果和控制能量输入两方面与常用的模态控制力方法进行了对比分析. 结果表明：随着作动器数量的增加，本文方法的控制效果和控制能量输入比模态控制力方法提升更快；在作动器数量相同或控制能量输入相同时，本文方法对外界激励的控制效果优于模态控制力方法.

关键词

空间杆系结构; 模态阻尼; 主动振动控制; 作动器位置优化; 序列前向选择

随着空间杆系结构设计日趋大型化和柔性化，低阻尼的杆系结构在地震作用、风荷载以及冲击荷载等动态激励作用下振动响应大，振动衰减慢，结构动力问题不容忽视，需要采取一定的措施加以控制^［

1-2］.主动振动控制技术改变了传统结构通过自身设计方案来被动抵抗外界荷载的设计思路，在轻量化的杆系结构中应用较为广泛^{［参考文献 3-4}3-4］. 主动控制系统通过在结构中布置传感器监测结构变形状态，由控制器引导嵌入结构系统的作动器输入控制力，消耗结构系统在外界激励下的振动能量，可有效降低结构的振动水平，提高结构的抗振能力和防灾性能^{［参考文献 5

百度学术}5］. 作动器是结构振动主动控制系统的重要组成部分，作动器的位置配置会直接影响振动控制效果^{［参考文献 6

百度学术}6］. 因此，有必要对作动器的位置优化进行研究.

近年来，国内外许多学者从能量耗散角度对作动器位置优化开展研究. Li等^［

7］对线性二次型最优控制（LQR）的性能指标进行改进，得到了与初始状态无关的优化指标. 徐斌等^{［参考文献 8

百度学术}8］构建了输入能量、溢出能量和有效阻尼响应时间的多目标评价体系，进行桁架结构作动器的位置优化. 王军等^{［参考文献 9

百度学术}9］从状态空间方程出发，以可控性Gram矩阵特征值为基础，采用能量吸收率作为作动器位置优化的目标函数. 肖南等^{［参考文献 10

百度学术}10］以LQR控制理论的性能泛函为基础，定义了作动器布设的敏感度，通过逐步删除结构中敏感度较小的作动器，实现了双层球面网壳结构的作动器位置优化. Angeletti等^{［参考文献 11

百度学术}11］以作动器功耗的加权和为优化目标，确定了大型网格反射器的支撑结构速度反馈的最优增益以及作动器位置. 杨依领等^{［参考文献 12

百度学术}12］对作动器位置矩阵进行奇异值分解，兼顾保留模态和截断模态对模态控制力的影响，提出一种综合模态控制力最大化的评价准则，并以挠性梁为例进行了压电作动器的位置优化.Li等^{［参考文献 13

百度学术}13］提出作动器的最优位置是能产生最大的模态控制力的位置，并采用遗传算法进行了桁架结构的作动器位置优化，该优化准则计算方便、应用较广.

本文沿上述研究思路，从LQR控制理论的反馈增益出发，将模态控制力代入运动方程，推导了模态控制力对受控模态所产生的主动阻尼，提出了目标控制模态的模态阻尼最大化的作动器位置优化准则. 通过与文献［

13］中的优化准则（最大化目标控制模态的模态控制力）进行对比分析，说明本文方法布置作动器在控制效果和控制能量输入方面的优势.

1 基于LQR理论的结构主动控制系统建模

结构动力系统的运动方程为：

M \ddot{x} + C \dot{x} + K x = f_{d} + B_{s} f_{a}

（1）

式中： $M$ 、 $C$ 和 $K$ 分别为结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵； $\ddot{x}$ 、 $\dot{x}$ 和 $x$ 分别为结构加速度、速度和位移响应； $f_{d}$ 为外界激励； $B_{s}$ 是作动器的位置矩阵； $f_{a}$ 为控制力向量，用来模拟作动器的控制输入.

将运动方程转换为状态空间方程：

\{\begin{array}{l} \dot{X} = A X + B f_{a} + H f_{d} \\ Y = E X \end{array}

（2）

式中： $A = [\begin{matrix} 0 & I \\ - M^{- 1} K & - M^{- 1} C \end{matrix}]$ ，其中 $I$ 为单位对角矩阵； $B = [\begin{matrix} 0 \\ M^{- 1} B_{s} \end{matrix}]$ ； $H = [\begin{matrix} 0 \\ M^{- 1} \end{matrix}]$ ； $X = [\begin{matrix} x \\ \dot{x} \end{matrix}]$ ； $E$ 为测量矩阵，对于全反馈控制的情况， $E = I$ .

结构振动控制的二次型性能指标函数 $Z$ 为^［

14］：

Z = \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} (X^{T} Q X + f_{a}^{T} R f_{a}) d t

（3）

式中： $Z_{1} = X^{T} Q X$ 项表征结构振动能量的大小， $Q$ 为半正定的权重矩阵； $Z_{2} = f_{a}^{T} R f_{a}$ 项表征控制能量输入的大小， $R$ 为正定权重矩阵.

主动控制力 $f_{a}$ 和反馈增益矩阵 $G$ 为：

f_{a} = - G Y

（4）

G = R^{- 1} B P

（5）

式中： $P$ 为式（6）所示黎卡提代数方程的解.

P A + A^{T} P + Q - P B R^{- 1} B^{T} P = 0

（6）

2 主动控制系统作动器位置优化

作动器的位置对结构主动振动控制系统的性能影响较大. 本文从LQR控制理论的反馈增益矩阵出发，使目标控制模态的模态阻尼最大化，以此作为作动器位置的优化准则.

2.1 优化准则

对式（1）作模态变换，令 $x = Φ q$ ，可得到模态坐标系下的系统运动方程：

\bar{M} \ddot{q} + \bar{C} \dot{q} + \bar{K} q = Φ^{T} f_{d} + f_{m a}

（7）

式中： $Φ$ 为模态矩阵； $q$ 为模态坐标向量； $\bar{M} = Φ^{T} M Φ$ 为模态质量矩阵； $\bar{C} = Φ^{T} C Φ$ 为模态阻尼矩阵； $\bar{K} = Φ^{T} K Φ$ 为模态刚度矩阵； $f_{m a} = Φ^{T} B_{s} f_{a}$ 为模态控制力向量.

文献［

13］中作动器位置的优化准则为矩阵

f_{m a}^{T} f_{m a}

的特征值集中分布且最大，以此产生最大的模态控制力. 本文将式（4）中的反馈增益矩阵

G

分为位移反馈增益矩阵

G_{1}

和速度反馈增益矩阵

G_{2}

：

f_{a} = - G Y = - [\begin{matrix} G_{1} & G_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ \dot{x} \end{matrix}]

（8）

并将式（8）代入运动方程式（7），可将主动控制力转化为对模态阻尼和模态刚度的贡献：

\bar{M} \ddot{q} + (\bar{C} + {\bar{C}}_{}^{a d d}) \dot{q} + (\bar{K} + {\bar{K}}_{}^{a d d}) q = Φ^{T} f_{d}

（9）

式中： ${\bar{C}}_{}^{a d d} = Φ_{}^{T} B_{s} G_{2} Φ_{}^{T}$ 为主动模态阻尼矩阵，由速度反馈增益提供； ${\bar{K}}_{}^{a d d} = Φ_{}^{T} B_{s} G_{1} Φ_{}^{T}$ 为主动模态刚度矩阵，由位移反馈增益提供. 由式（9）可知，基于LQR控制理论设计的控制力改变了结构的模态阻尼和模态刚度，以主动模态阻尼 ${\bar{C}}_{}^{a d d}$ 和主动模态刚度 ${\bar{K}}_{}^{a d d}$ 的形式施加在结构上，来降低结构振动水平. 文献［

14］指出LQR控制主要以改变结构阻尼为主，因此本文忽略主动模态刚度的影响.

作动器输入控制力所提供的主动模态阻尼 ${\bar{C}}_{}^{a d d}$ 越大，系统对外界激励的耗能能力就越强，对结构的振动控制就越有利. 空间杆系结构模态阶数较多，低阶模态在受迫振动时占主导地位，高阶模态不易被激发，可将全部模态 $Φ$ 划分为目标控制模态 $Φ_{c}$ 和剩余模态 $Φ_{r}$ . 记目标控制模态的模态阻尼矩阵为：

{\bar{C}}_{c}^{a l l} = {\bar{C}}_{c} + {\bar{C}}_{c}^{a d d} = Φ_{c}^{T} C Φ_{c}^{T} + Φ_{c}^{T} B_{s} G_{2} Φ_{c}^{T}

（10）

为避免矩阵 ${\bar{C}}_{c}^{a d d}$ 奇异影响，本文取矩阵 ${\bar{C}}_{c}^{a l l}$ 的特征值集中分布且最大时，作动器能提供最大的主动模态阻尼，对外界激励的耗能能力最强，因此作动器的最优位置集合 $p^{*}$ 为：

p^{*} = \underset{p}{a r g m a x} J (p)

（11）

J = (\sum_{i = 1}^{n_{c}} λ_{i}) \sqrt[n_{c}]{\prod_{i = 1}^{n_{c}} (λ_{i})}

（12）

式中： $p$ 为作动器的位置集合； $J$ 为本文作动器位置优化的目标函数； $n_{c}$ 为目标控制模态 $Φ_{c}$ 的数目； $λ_{i}$ 为矩阵 ${\bar{C}}_{c}^{a l l}$ 的特征值向量 $λ$ 的第 $i$ 个元素； $\sum_{i = 1}^{n_{c}} λ_{i}$ 项为矩阵 ${\bar{C}}_{c}^{a l l}$ 所有特征值的算术平均值； $\sqrt[n_{c}]{\prod_{i = 1}^{n_{c}} (λ_{i})}$ 项为矩阵 ${\bar{C}}_{c}^{a l l}$ 所有特征值的几何平均值，两项乘积最大可以保证矩阵 ${\bar{C}}_{c}^{a l l}$ 所有特征值分布集中且最大.

2.2 序列前向选择优化方法

作动器位置优化为离散优化问题，该类优化问题求解已有许多成熟的方法. 本文采用序列前向选择方法，它是一种经典的贪心算法，通过寻找当前最优子集的方式来逐步获得最终寻优结果^［

15］.

对于作动器位置的选择，设 $L$ 表示所选作动器位置的当前集合， $Ω$ 表示所有可供选择的位置集合， $Λ$ 表示当前未选位置的集合， $n_{a}$ 表示作动器的数量. 基于序列前向选择方法的作动器位置优化流程如图1所示.

图1 基于序列前向选择方法的作动器位置优化流程图

Fig.1 Flowchart of actuator placement optimization based on sequence forward selection method

3 数值验证

3.1 算例1：四角锥网架结构

四角锥网架结构（图2）用来验证本文作动器位置优化准则的有效性，该结构跨度为10 m，高度为0.6 m，由224根杆件组成，约束为周边固支. 四角锥网架结构具体参数如表1所示.

（a）模型图

（b）俯视图（单位：m）

（c）侧视图（单位：m）

图2 四角锥网架

Fig.2 Square pyramid space grid

表1 四角锥网架结构参数

Tab.1 Structure parameters of square pyramid space grid

结构参数	参数取值
总节点数	65
自由节点数	49
杆单元数	224
节点集中质量/kg	2
弹性模量/GPa	206
材料密度/（kg·m^-3）	7 850
杆件等效截面面积/m²	2×10^-4
阻尼比	0.05

采用文献［

13］中的模态控制力方法与本文方法进行对比分析. 目标控制模态数

n_{c} = 10

，作动器数量

n_{a} = 4

. 基于LQR理论的主动控制系统中

Q

和

R

的取值为：

Q = [\begin{matrix} I_{147 \times 147} & 0_{147 \times 147} \\ 0_{147 \times 147} & 0_{147 \times 147} \end{matrix}]

R = 3 \times 10^{- 14} I_{4 \times 4}

除去结构周边被约束的16根杆件，考虑结构中间的208个单元位置为作动器可供选择的位置集合. 采用前述序列前向选择方法，当作动器数量 $n_{a} = 4$ 时，模态控制力方法的作动器位置优化结果如图3（a）所示，本文方法的作动器位置优化结果如图3（b）所示.

（a）模态控制力方法作动器位置优化结果

（b）本文方法作动器位置优化结果

图3 作动器位置示意图（四角锥网架）

Fig.3 Schematic diagram of actuators placement

（square pyramid space grid）

为比较两种方法所选作动器位置对外界激励的振动控制效果，设计了两种荷载工况：

1）地震作用：结构竖向地震动输入为El-Centro地震波，峰值加速度取3g，作用时间取31.2 s.采用式（13）将地震动转化为作用力施加到结构上.

f_{d} = - M I_{g} {\ddot{x}}_{g}

（13）

式中： $I_{g}$ 是影响向量； ${\ddot{x}}_{g}$ 是地震动加速度.

2）风荷载：采用AR自回归模型^［

16］模拟风速时程，水平阵风采用Daveport谱，AR模型阶数取5，基本风压取0.45 kN/m²，模拟风速时长60 s. 采用

式（14）将风速时程转化为作用力施加到结构上弦节点.

f_{d} = \frac{1}{2} C_{p} ρ A_{p} V^{2}

（14）

式中： $C_{p}$ 为风压分布系数，取-1； $ρ$ 为空气质量密度，取1.225 kg/m³； $A_{p}$ 为作用面积向量； $V$ 为风速时程向量.

为更加全面地展示模态控制力方法和本文方法对外界激励的振动控制效果，取控制性能指标 $Z$ 的第一项 $Z_{1} = X^{T} Q X$ 来表征结构振动能量的大小. 图4为作动器数量 $n_{a} = 4$ 时，模态控制力方法和本文方法布置作动器与无控情况下结构振动能量 $Z_{1}$ 的对比图. 由图4可知，依据本文方法布置作动器，在地震作用和风荷载激励下均表现出良好的振动控制性能，结构振动能量 $Z_{1}$ 降低更为明显，优于模态控制力方法.

（a）结构振动能量（地震作用）

（b）结构振动能量（风荷载）

图4 作动器数量n_a=4时结构振动能量对比图（四角锥网架）

Fig.4 Comparison of vibration energy with four actuators （square pyramid space grid）

为量化对比两种方法的控制效果，定义结构振动能量降低率 $η$ 为：

η = \frac{\int Z_{1, 无控} - \int Z_{1, 有控}}{\int Z_{1, 无控}}

（15）

由式（15）可知，结构振动能量降低率 $η$ 越大，则控制效果越好. 在地震作用和风荷载两种工况下，模态控制力方法的结构振动能量降低率 $η$ 约为20%和13%，而本文方法约为46%和38%. 显然，在均采用 4个作动器时，本文方法的控制效果更优.

主动控制全程的能量消耗也是评价控制系统性能的重要指标，采用控制性能指标 $Z$ 的第二项的积分 $\int Z_{2} = \int f_{a}^{T} R f_{a}$ 来表征整个控制过程中的能量输入. 采用序列前向选择方法，按照模态控制力方法和本文方法布置不同数量的作动器，对比控制效果与控制能量输入，结果如图5所示. 由图5可知，在两种荷载工况下，随着作动器数量增加，本文方法的控制效果提升较快，结构振动能量降低率 $η$ 更快稳定在较高水平.当作动器数量 $n_{a} \leq 100$ 时，本文方法的控制效果优于模态控制力方法；当作动器数量 $n_{a} > 100$ 时，本文方法的控制效果与模态控制力方法接近. 随着作动器数量的增加，本文方法的控制能量输入先增加后下降，最终随着控制效果的更快稳定，控制能量输入也更快达到稳定.当作动器数量 $n_{a} < 20$ 时，本文方法可用较高的控制能量输入维持更好的控制效果；在 $n_{a} = 20$ 附近，两种方法的控制能量输入相同，本文方法的控制效果优于模态控制力方法；随着作动器数量的增加，本文方法所需的能量输入更快开始下降，并小于模态控制力方法. 作动器的位置会影响主动控制力提供给结构的主动阻尼，主动阻尼越大，对外界激励的耗能能力就越强，因此在模态阻尼矩阵的特征值集中分布且最大时，控制效果与模态控制力方法相比更优.

（a）控制效果与控制能量输入对比（地震作用）

（b）控制效果与控制能量输入对比（风荷载）

图5 不同数量作动器控制效果与控制能量输入对比图

Fig.5 Comparison of control effect and control energy input with different number of actuators （square pyramid space grid）

（四角锥网架）

3.2 算例2：Levy型索穹顶

Levy型索穹顶结构（图6）用来进一步验证本文方法的有效性，该结构跨度为20 m，由96根拉索、 17根压杆，共113个单元组成，约束为周边固支，具体结构参数如表2所示. Levy型索穹顶结构具有良好的对称性，可分为11组杆件，采用二次奇异值分解方法^［

17］确定索穹顶结构整体可行预应力，预应力

f_{p}

设置详见表3.

（a）模型图

（b）俯视图

（c）剖面图（单位：m）

图6 Levy型索穹顶

Fig.6 Levy-type cable dome

表2 Levy型索穹顶结构参数

Tab.2 Structure parameters of Levy-type cable dome

结构参数	参数取值
总节点数	42
自由节点数	34
单元数	113
节点集中质量/kg	5
拉索弹性模量/GPa	181
拉索等效截面面积/m²	6×10^-4
压杆弹性模量/GPa	206
压杆等效截面面积/m²	1×10^-3
材料密度/（kg·m^-3）	7 850
阻尼比	0.05

表3 Levy型索穹顶预应力设置

Tab.3 Prestress setting of Levy-type cable dome

单元分组编号	预应力f_p/N
1	7 220
2	3 388
3	6 968
4	3 286
5	16 890
6	8 807
7	5 839
8	12 129
9	-11 327
10	-2 636
11	-5 775

目标控制模态数 $n_{c} = 8$ ，作动器数量 $n_{a} = 4$ . 基于LQR理论的结构主动控制系统中 $Q$ 和 $R$ 的取值为：

Q = [\begin{matrix} I_{102 \times 102} & 0_{102 \times 102} \\ 0_{102 \times 102} & 0_{102 \times 102} \end{matrix}]

R = 2 \times 10^{- 14} I_{4 \times 4}

考虑96根拉索所在位置为作动器可供选择的位置集合. 采用序列前向选择方法，模态控制力方法和本文方法的作动器位置优化结果如图7所示.

（a）模态控制力方法作动器位置优化结果

（b）本文方法作动器位置优化结果

图7 作动器位置示意图（Levy型索穹顶）

Fig.7 Schematic diagram of actuators placement （Levy-type cable dome）

荷载工况设置同算例1一致. 索穹顶结构由预应力提供刚度保持稳定，因此在振动控制过程中，作动器所在单元应避免预应力松弛，故预应力 $f_{p}$ 和控制力 $f_{a}$ 需满足如下约束：

f_{p} + f_{a} > 0

（16）

式中： $f_{p}$ 和 $f_{a}$ 以受拉为正，受压为负.

图8为作动器数量 $n_{a} = 4$ 时，依据模态控制力方法和本文方法布置作动器和无控情况下结构振动能量的对比图. 由图8可知，在地震作用和风荷载两种工况下，依据本文方法在外圈环索布置作动器的振动控制效果更好. 具体地，在地震作用和风荷载激励下，模态控制力方法的结构振动能量降低率约为10%和8%，而本文方法约为33%和30%.

（a）结构振动能量（地震作用）

（b）结构振动能量（风荷载）

图8 作动器数量n_a=4时结构振动能量对比图

Fig.8 Comparison of vibration energy with four actuators

（Levy型索穹顶）

（Levy-type cable dome）

图9为模态控制力方法和本文方法在布置不同数量作动器的情况下，控制效果与控制能量输入的对比图. 图9中曲线的变化趋势同算例1的图5一致，可知本文方法在作动器数量较少时，可用较高的控制能量输入维持更好的控制效果；在控制能量输入相同时，本文方法的控制效果优于模态控制力方法；随着作动器数量的继续增加，作动器提供给结构的主动阻尼增加了结构对外界激励的耗能能力，对控制效果的影响持续增强，因此本文方法的控制效果优于模态控制力方法.

（a）控制效果与控制能量输入对比（地震作用）

（b）控制效果与控制能量输入对比（风荷载）

图9 不同数量作动器控制效果与控制能量输入对比图

Fig.9 Comparison of control effect and control energy input with different number of actuators （Levy-type cable dome）

（Levy型索穹顶）

4 结论

本文研究了基于LQR理论的空间杆系结构振动主动控制系统，提出了目标控制模态的模态阻尼最大化的作动器位置优化准则. 采用四角锥网架结构和Levy型索穹顶结构验证了本文方法的有效性，并与常用的模态控制力方法进行对比，得到以下结论：

1）在作动器数量较少时，本文方法可用较高的控制能量输入维持更好的控制效果.

2）随着作动器数量的增加，本文方法的控制效果和控制能量输入比模态控制力方法提升更快.

3）在作动器数量相同或控制能量输入相同时，本文方法的控制效果均优于模态控制力方法.

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基于模态阻尼指标的空间杆系结构作动器位置优化 PDF

摘要

关键词

1 基于LQR理论的结构主动控制系统建模

2 主动控制系统作动器位置优化

2.1 优化准则

2.2 序列前向选择优化方法

3 数值验证

3.1 算例1：四角锥网架结构

3.2 算例2：Levy型索穹顶

4 结论

参考文献

基于模态阻尼指标的空间杆系结构作动器位置优化 PDF

摘要

关键词

1 基于LQR理论的结构主动控制系统建模

2 主动控制系统作动器位置优化

2.1 优化准则

2.2 序列前向选择优化方法

3 数值验证

3.1 算例1：四角锥网架结构

3.2 算例2：Levy型索穹顶

4 结 论

参考文献

4 结论