城轨列车自动驾驶积分反步线性自抗扰控制

岳丽丽 1，王一栋 3，肖宝弟 1，2?，武晓春 1; YUE Lili1，WANG Yidong3，XIAO Baodi1，2?，WU Xiaochun1

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城轨列车自动驾驶积分反步线性自抗扰控制 PDF

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岳丽丽 ¹
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王一栋 ³
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肖宝弟 ^1,2
✉
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武晓春 ¹

1. 兰州交通大学自动化与电气工程学院，甘肃兰州 730070； 2. 北京康吉森交通设备有限公司，北京 101318； 3. 中车南京浦镇车辆有限公司，江苏南京 210031

中图分类号： U284.48；

最近更新：2024-08-25

DOI： 10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2024280

摘要

针对列车在外部干扰和不确定动态下的速度控制问题，设计了融合积分反步法和线性自抗扰的复合控制方案.首先，考虑列车具有强耦合性，为了更加符合列车真实的纵向动力学特性和受力情况，建立了具有时变系数的多质点模型.其次，为了降低参数调节的难度，跟踪微分器和扩张状态观测器均采用线性形式.跟踪微分器用于求取微分信号，同时具有滤波作用.利用跟踪微分器对虚拟控制量进行求导，正好可解决反步法中存在的“微分爆炸”问题.扩张状态观测器用于实时估计总和扰动.此外，利用积分反步法改进了误差反馈控制律，设计了一种积分反步线性自抗扰控制（IBS-LADRC）算法.最后，证明了观测误差的收敛性及闭环系统稳定性.结合杭州地铁6号线AH型动车组参数和实际线路数据进行仿真，并将IBS-LADRC与反步法、线性自抗扰算法、PID控制进行对比，结果表明：IBS-LADRC方法下各动力单元速度误差均处在±0.04 km/h以内，加速度处在±1 m/s²以内，加速度和速度误差均变化较平稳；车钩力相对其他3类方法最小，变化也最平缓，最大车钩力仅为2 320 N；本文控制策略对列车期望速度具有较高的跟踪精度，有利于保证车钩安全，防止车钩断裂，并提高列车运行的安全性、平稳性及乘客舒适度.

关键词

自动驾驶; 线性自抗扰; 积分反步; 城轨列车; 多质点模型

列车自动驾驶（automatic train operation， ATO）技术的运用能够提高运营效率、降低能耗、减轻司机负担，同时使出行者的乘车体验得到改善.ATO系统作为列车自动控制系统的关键子系统之一，负责控制列车的牵引和制动，其最重要的功能是控制列车的速度，这是实现列车自动运行和运营安全的基础^［

1］.因此，如何在复杂环境下实现列车自动驾驶的速度控制显得至关重要.

近年来，ATO算法引起了理论界和工程界的广泛关注.PID控制^［

2］在工程实践和理论研究中应用最广泛，但在车辆参数差异较大、外界强干扰等复杂环境下PID鲁棒性差、抗扰能力不能满足要求.由于列车具有强耦合、非线性、参数不确定性等动态特性，系统参数会随着运行环境的变化而改变，动力学模型具有很大的不确定性，使得精确建模变得困难.考虑模型参数不确定性或外部扰动的影响，包括自适应控制、鲁棒控制、滑模控制等方法^{［参考文献 3-6}3-6］已被用于列车速度控制.为了克服运行过程的不确定性和非线性，模型预测控制^{［参考文献 7

百度学术}7］也被应用到ATO中.

列车为非线性系统，系统参数会随着运行环境的变化而改变，经典的基于模型的控制方法在实际应用中很难适用.目前不依赖模型的控制方法已逐渐被应用于列车速度控制，如无模型自适应控制^［

8］、自抗扰控制（active disturbance rejection control，ADRC）^{［参考文献 9

百度学术}9］、模糊控制^{［参考文献 10

百度学术}10］、迭代学习控制^{［参考文献 11

百度学术}11］，具有无模型参数限制的优点.文献［8-11］对列车运行取得了突出的控制效果，但大多数主要关注控制系统的稳定性、鲁棒性和准确性；除ADRC以外，其余方法大多未考虑外界扰动对系统的影响，当存在扰动时难以得到令人满意的速度控制效果.列车运行环境复杂多变，外界扰动及模型的不确定性对ATO控制性能的影响很大.对于列车ATO运行，实现速度的精确控制是基础，抗干扰性也应得到关注.

对于控制科学，处理扰动的范式有三类：工业范式、模型范式及抗扰范式.其中抗扰范式是对不确定性和干扰进行主动抑制，其基本观念是从可测变量中估计扰动或扰动的影响，然后控制装置输出控制信号，在扰动影响系统之前补偿扰动的影响.ADRC技术由韩京清创立^［

12］，其优势在于对总扰动（内外部扰动、未建模动态等不确定性）的估计和实时补偿，兼顾强鲁棒性与抗扰性.鉴于ADRC优良的抗干扰性能，众多学者将其应用到列车速度控制.杨杰等^{［参考文献 13

百度学术}13］利用改进粒子群算法对参数进行优化，解决了非线性ADRC参数多、调试困难的问题.王盼盼等^{［参考文献 14

百度学术}14］针对磁浮列车时滞问题，分解优化了ADRC结构并给出了等效模型下的参数调节方法，实现了在不同路段下对速度的精确追踪.刘鸿恩等^{［参考文献 15

百度学术}15］利用BP神经网络对ADRC参数进行自适应整定并将其用到永磁磁悬浮列车的速度控制，提高了鲁棒性、平稳性和精确度.Wang等^{［参考文献 16

百度学术}16］将ADRC用于货物列车控制并引入人工蜂群算法进行参数整定，验证了ADRC在速度控制中的优越性.文献［9，13-16］均采用非线性形式，参数众多，整定烦琐，使得参数设置和实现在工程上具有挑战性.高志强教授提出线性ADRC（linear active disturbance rejection control， LADRC）^{［参考文献 17

百度学术}17］，引入频域思想提出了参数调节方法，参数物理意义更加明确，极大地促进了LADRC在实际工程中的应用.经典LADRC主要包括线性扩张状态观测（linear extended state observer， LESO）和PD控制器，省略了跟踪微分器（tracking differentiator， TD）环节.另外文献［9，13-16］均采用单质点模型，忽略了车间作用力，较大地偏离列车真实的纵向动力学特性.钩缓装置使动车组各车辆之间实现连挂，列车运行过程中钩缓装置会发生压缩或拉伸，使得车辆之间具有较强的耦合作用，多质点模型更加符合动车组真实运行情况.

反步（back-stepping， BS）法^［

18］是一种非常适合参数不确定系统的鲁棒控制方法，它使用Lyapunov稳定性理论来设计控制器，同时BS控制器的性能完全取决于系统模型.积分反步法（integral back-stepping， IBS）是对BS的改进，在BS算法中加入了一个积分项，使系统状态快速收敛到参考值并减小稳态误差.

综上，本文基于多质点模型，将反步法与带跟踪微分器的LADRC相结合，利用积分反步法对误差反馈控制律进行改进，设计了积分反步线性自抗扰速度控制算法（IBS-LADRC）.该算法在降低反步法对模型依赖性的同时也提高了LADRC的鲁棒性；采用线性形式的跟踪微分器和扩张状态观测器降低了参数调节难度.利用ADRC中的跟踪微分器对虚拟控制量进行求导，也可解决反步法中信号反复解析求导而导致的“微分爆炸”问题.考虑复杂的路况和运行环境，利用真实线路数据进行仿真，验证所提控制方法对城轨动车组列车运行控制的有效性.

1 列车动力学建模

动车组多为动力分散型，动力装置分散在多节车厢上，各车厢之间通过车钩缓冲装置实现连挂.动车由多节动车和拖车组成，动车受到牵引力或制动力，拖车仅受制动力，同时相邻车厢之间存在耦合力，多质点模型更符合列车真实受力情况.

1.1 运行阻力

列车运行阻力包括基本阻力 $f_{a}$ 和附加阻力 $f_{b}$ .其中基本阻力在列车运行期间一直存在，包括内部部件之间的摩擦、滚动阻力和空气阻力，单位基本阻力计算公式满足Davis方程：

f_{a} (v) = a_{0} (t) + a_{1} (t) v + a_{2} (t) v^{2}

（1）

式中： $a_{0} 、 a_{1} 、 a_{2}$ 为戴维斯时变系数，它们的值通常由经验常数确定. $a_{0}$ 是与列车速度无关的滚动机械阻力系数， $a_{1}$ 是滚动摩擦阻力系数， $a_{2}$ 是空气阻力系数.

附加阻力依赖线路情况，当列车通过坡道、弯道或隧道时才会产生，其计算公式如下：

\{\begin{array}{l} f_{1} = m g θ \times 10^{- 3} \\ f_{2} = m g (600 / R) \times 10^{- 3} \\ f_{3} = m g (0.000 13 S) \times 10^{- 3} \end{array}

（2）

式中： $m$ 为单节车厢或单个动力单元的质量， $g = 9.8 m / s^{2}$ 为重力加速度， $f_{1}$ 为坡道附加阻力， $θ$ 为坡度值， $f_{2}$ 为弯道附加阻力， $R$ 为弯道半径， $f_{3}$ 为隧道附加阻力， $S$ 为隧道长度.动车组运行期间总的附加阻力为： $f_{b} = f_{1} + f_{2} + f_{3}$ .

1.2 车厢间耦合力

缓冲器通过压缩弹性元件来减小冲击力，在弹性元件变形过程中通过摩擦和阻尼来吸收冲击能量，因此钩缓系统可看作“弹性阻尼”结构.对于多质点模型需考虑相邻车厢间的车间耦合力即车钩力 $f_{d}$ ，相邻第 $i$ 节车辆与第 $i + 1$ 节车辆间的耦合力可表示为：

f_{d i (i + 1)} = k_{s} (x_{i} - x_{i + 1}) + k_{d} (v_{i} - v_{i + 1})

（3）

式中： $k_{s} 、 k_{d}$ 分别为弹性系数和阻尼系数， $x_{i}$ 和 $v_{i}$ 分别为第 $i$ 节车辆的位移和速度.

1.3 动力单元动力学建模

动车组可划分为多个动力单元，每个动力单元视为一个质点都包含牵引装置，如图1所示.以中间第i个质点为例，纵向受力如图2所示.

图1 动力单元划分示意图

Fig.1 Schematic diagram of power unit division

图2 动力单元i受力分析

Fig.2 Force analysis of dynamic unit i

质点i的动力学模型表示为：

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1 i} = x_{2 i} \\ (1 + ρ) m_{i} {\dot{x}}_{2 i} = u_{i} + f_{d i (i - 1)} - f_{d i (i + 1)} - f_{a i} - f_{b i} \end{array}

（4）

式中：x₁_i、x₂_i分别为质点i的位移、速度状态变量， $ρ$ 为回转质量系数， $m_{i}$ 为质点 $i$ 的质量， $u_{i}$ 为质点 $i$ 的牵引/制动力.令：

\frac{1}{(1 + ρ) m_{i}} = b_{i}, \frac{f_{d i (i - 1)} - f_{d i (i + 1)} - f_{a i} - f_{b i}}{(1 + ρ) m_{i}} = f_{1 i}

（5）

考虑外部扰动的影响，则

\begin{array}{l} {\ddot{x}}_{1 i} = f_{1 i} + (b_{i} - b_{0 i}) u_{i} + w_{i} + b_{0 i} u_{i} = \\ f_{i} + w_{i} + b_{0 i} u_{i} = F_{i} + b_{0 i} u_{i} \end{array}

（6）

式中： $w_{i}$ 为外部扰动， $b_{0 i}$ 为 $b_{i}$ 的已知部分也称为补偿因子， $f_{i}$ 为由基本阻力、附加阻力、车间耦合力以及参数不确定性引起的内部扰动， $F_{i} = f_{i} + w_{i}$ 为总扰动.

令 $x_{3 i} = F_{i}$ ， $h_{i} = {\dot{F}}_{i}$ ， $x_{i} = {[\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1 i} & x_{2 i} & x_{3 i} \end{array} \end{matrix}]}^{T}$ 为扩张状态变量，式（4）对应的扩张状态方程为：

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1 i} = x_{2 i} \\ \begin{array}{l} {\dot{x}}_{2 i} = F_{i} + b_{0 i} u_{i} \\ {\dot{x}}_{3 i} = h_{i} \end{array} \end{array}

（7）

将式（7）改写为矩阵形式：

\{\begin{array}{l} {\dot{x}}_{i} = A x_{i} + B_{i} u + M h \\ y_{i} = N x_{i} \end{array}

（8）

式中：

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]; B_{i} = [\begin{matrix} 0 \\ b_{0 i} \\ 0 \end{matrix}]; M = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{^{T}}; \\ N = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}] . \end{array}

1.4 多质点模型

综上，在单个动力单元受力分析的基础上，得到列车多质点模型的方程为：

\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} (1 + ρ) m_{1} {\dot{v}}_{1} = u_{1} - k (x_{1} - x_{2}) - d (v_{1} - v_{2}) - \\ \frac{m_{1} g}{1 000} (a_{0} (t) + a_{1} (t) v_{1} + a_{2} (t) {v_{1}}^{2}) - f_{b 1} \\ \dots \dots \end{array} \\ \begin{array}{l} (1 + ρ) m_{i} {\dot{v}}_{i} = u_{i} + k (x_{i - 1} - x_{i}) + d (v_{i - 1} - v_{i}) - \\ k (x_{i} - x_{i + 1}) - d (v_{i} - v_{i + 1}) - \\ \frac{m_{i} g}{1 000} (a_{0} (t) + a_{1} (t) v_{i} + a_{2} (t) {v_{i}}^{2}) - f_{b i} \end{array} \\ \begin{array}{l} (i = 2,3, \dots, n - 1) \\ \dots \dots \end{array} \\ \begin{array}{l} (1 + ρ) m_{n} {\dot{v}}_{n} = u_{n} + k (x_{n - 1} - x_{n}) + d (v_{n - 1} - v_{n}) - \\ \frac{m_{n} g}{1 000} (a_{0} (t) + a_{1} (t) v_{n} + a_{2} (t) {v_{n}}^{2}) - f_{b n} \end{array} \\ {\dot{x}}_{i} = {\dot{v}}_{i} (i = 1,2, \dots, n) \end{array}

（9）

2 积分反步线性自抗扰控制器设计

采用积分反步自抗扰控制器（IBS-LADRC）实现对动车组的速度控制，IBS-LADRC控制框图如图3所示，包括：线性跟踪微分器（LTD）、基于积分反步（IBS）法的反馈控制律u₀及线性扩张状态观测器（LESO），融合了线性自抗扰和积分反步法各自的优点.

图3 IBS-LADRC控制器框图

Fig.3 Block diagram of IBS-LADRC controller

2.1 线性跟踪微分器设计

线性跟踪微分器用来安排过渡过程并求取微分信号，同时具有滤波作用.反步法由于反复求导会产生“微分爆炸”问题，跟踪微分器的引入正好可以有效解决此问题.由于纯微分环节对噪声较敏感且在物理上难以实现，因此常采用高通滤波器实现微分作用.经典微分器也就是一阶高通滤波器，是对纯微分环节的一种近似，传递函数为：

D (s) = \frac{y (s)}{r (s)} = \frac{s}{T_{s} s + 1} = \frac{1}{T_{s}} (1 - \frac{1}{T_{s} s + 1})

（10）

从而得到输入信号r（t）的微分信号y（t）为：

y (t) \approx \frac{1}{T_{s}} [r (t) - r (t - T_{s})] \approx \dot{r} (t)

（11）

式中： $T_{s} > 0$ 为非常小的时间常数，当 $T_{s}$ 越小时，输出值 $y (t)$ 就越逼近微分值.如果 $r (t)$ 包含高频噪声分量 $n (t)$ ，则信号输入变为 $r (t) + n (t)$ ，此时

\begin{array}{l} y (t) \approx \frac{1}{T_{s}} [r (t) + n (t) - r (t - T_{s})] \approx \\ \dot{r} (t) + \frac{1}{T_{s}} n (t) \end{array}

（12）

因此，微分估计信号对输入信号中的噪声敏感，噪声放大增益为1/T_s，为了解决此问题，对经典微分器进行改进：

\dot{r} (t) \approx \frac{r (t - t_{1}) - r (t - t_{2})}{t_{2} - t_{1}}

（13）

式中： $t_{1} 、 t_{2}$ 为时间常数，满足 $0 < t_{1} < t_{2}$ .式（13）中的延迟信号分别用惯性环节来实现，从而得到：

\begin{array}{l} \frac{y (s)}{r (s)} = \frac{1}{t_{2} - t_{1}} (\frac{1}{t_{1} s + 1} - \frac{1}{t_{2} s + 1}) = \\ \frac{s}{t_{1} t_{2} s^{2} + (t_{1} + t_{2}) s + 1} \end{array}

（14）

式（14）对应的状态方程表达式为：

\{\begin{array}{l} {\dot{χ}}_{1} (t) = χ_{2} (t) \\ {\dot{χ}}_{2} (t) = - \frac{1}{t_{1} t_{2}} [χ_{1} (t) - r (t)] - \frac{t_{1} + t_{2}}{t_{1} t_{2}} χ_{2} (t) \\ χ_{2} (t) = y (t) \end{array}

（15）

可以看出， $t_{1} t_{2}$ 越小 $χ_{1}$ 跟踪 $r$ 越快.在式（15）中引入两个可调参数，推导得到动力单元 $i$ 的LTD为：

\{\begin{array}{l} {\dot{χ}}_{1 i} (t) = χ_{2 i} (t) \\ {\dot{χ}}_{2 i} (t) = - k_{1} γ^{2} [χ_{1 i} (t) - r (t)] - k_{2} γ χ_{2 i} (t) \end{array}

（16）

式中： $k_{1} 、 k_{2}$ 为正的常数， $γ$ 为速度因子.

LTD的跟踪与微分误差如下：

\{\begin{array}{l} e_{1} (t) = χ_{1} (t) - r (t) \\ e_{2} (t) = χ_{2} (t) - \dot{r} (t) \end{array}

（17）

结合式（16）和式（17），得到

\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} {\dot{e}}_{1} (t) = e_{2} (t) \\ {\dot{e}}_{2} (t) = γ^{2} (- k_{1} e_{1} (t) - k_{2} \frac{χ_{2} (t)}{γ}) - \ddot{r} (t) = \end{array} \\ γ^{2} (- k_{1} e_{1} (t) - k_{2} \frac{e_{2} (t) + \dot{r}}{γ}) - \ddot{r} (t) \end{array}

（18）

将式（18）改写成矩阵形式为：

[\begin{matrix} {\dot{e}}_{1} (t) \\ {\dot{e}}_{2} (t) \end{matrix}] = G [\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix}] + H [k_{2} γ \dot{r} (t) + \ddot{r} (t)]

（19）

式中： $G = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - k_{1} γ^{2} & - k_{2} γ \end{matrix}], H = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix}]$ .

G的特征方程如下：

|s Ι - G| = |\begin{matrix} s & - 1 \\ k_{1} γ^{2} & s + k_{2} γ \end{matrix}| = s^{2} + k_{2} γ s + k_{1} γ^{2} = 0

（20）

式（20）的判别式为：

Δ = (k_{2}^{2} - 4 k_{1}) γ^{2}

（21）

当满足条件： $k_{2}^{2} - 4 k_{1} \geq 0$ 时，可保证G为Hurwitz矩阵，当输入信号 $r (t)$ 及其各阶导数有界时，误差系统（19）有界输入有界输出（BIBO）稳定.

2.2 线性扩张状态观测器

LESO是BS-LADRC的核心，将总扰动扩张成系统的一个新状态变量，然后利用系统的输入、输出实时估计出扰动信息并设计控制器对其给予补偿.用补偿的方法消除扰动的影响，从而具有抗干扰的作用.

基于式（8），LESO设计如下^［

19］：

\{\begin{array}{l} {\dot{z}}_{1 i} = z_{2 i} + q_{1} (x_{1 i} - z_{1 i}) \\ {\dot{z}}_{2 i} = z_{3 i} + q_{2} (x_{1 i} - z_{1 i}) + b_{0 i} u_{i} \\ {\dot{z}}_{3 i} = q_{3} (x_{1 i} - z_{1 i}) \end{array}

（22）

\{\begin{array}{l} {\dot{z}}_{i} = A z_{i} + B_{i} u_{i} + Q (y_{i} - {\hat{y}}_{i}) \\ {\hat{y}}_{i} = N z_{i} \end{array}

（23）

式中： $z_{i} = [z_{1 i} z_{2 i} z_{3 i}]^{T}$ 为状态变量 $x_{i} = [x_{1 i} x_{2 i} x_{3 i}]^{T}$ 的估计， $Q = [q_{1} q_{2} q_{3}]^{T}$ 为LESO的增益矩阵，观测误差 $ε_{i} (t)$ 为：

ε_{i} (t) = x_{i} (t) - z_{i} (t)

（24）

对式（24）求导得到：

{\dot{ε}}_{i} (t) = {\dot{x}}_{i} (t) - {\dot{z}}_{i} (t)

（25）

从而得到：

{\dot{ε}}_{i} (t) = (A - Q N) ε_{i} (t) + M h_{i} (t)

（26）

式中： $A - Q N = [\begin{matrix} - q_{1} & 1 & 0 \\ - q_{2} & 0 & 1 \\ - q_{3} & 0 & 0 \end{matrix}]$ .

$A - Q N$ 的特征方程如下：

|s I - (A - Q N)| = s^{3} + q_{1} s^{2} + q_{2} s + q_{3} = 0

（27）

因为 $h_{i} (t)$ 有界，为了保证LESO有界输入有界输出稳定，将 $A - Q N$ 的特征根统一配置到 $- 2 w_{0}$ 处：

s^{3} + q_{1} s^{2} + q_{2} s + q_{3} = (s + 2 w_{0})^{3}

（28）

增益系数最终选取为：

q_{1} = 6 w_{0}, q_{2} = 12 w_{0}^{2}, q_{3} = 8 w_{0}^{3}

（29）

2.3 控制律设计

反步法是一种针对非线性系统设计鲁棒控制器的系统方法，反步指的是其设计过程的递归性质.其基本思想是将系统分解成一组嵌套的子系统，子系统个数不超过系统阶数，并为每个子系统设计中间虚拟控制律，一直后退到整个系统，将它们集成起来完成整个控制律的设计^［

20］.通过递归地构造闭环系统的Lyapunov函数获得反馈控制器，在每一步中，设计一个Lyapunov函数来实现每个子系统的收敛性，进而确保整个系统是渐近稳定的.

积分反步法是在传统的反步法基础上添加了跟踪误差的积分项，以此来弥补稳态误差.由于列车为二阶系统，因此列车BS-LADRC控制器的设计基于以下2个步骤：

步骤1 首先，将列车动力单元i的位移跟踪误差定义为：

e_{1 i} = x_{1 i} - x_{1 i r e f}

（30）

式中： $x_{1 i r e f}$ 为参考位移，目标是将误差 $e_{1 i}$ 收敛到零.

{\dot{e}}_{1 i} = {\dot{x}}_{1 i} - {\dot{x}}_{1 i r e f} = x_{2 i} - {\dot{x}}_{1 i r e f}

（31）

现在引入积分项 $δ_{1 i}$ ，用于状态快速收敛到参考值：

δ_{1 i} = \int_{0}^{t} (x_{1 i} - x_{1 i r e f}) d t

（32）

对式（32）求导，得到：

{\dot{δ}}_{1 i} = x_{1 i} - x_{1 i r e f} = e_{1 i}

（33）

构造Lyapunov函数 $V_{1}$ 为：

V_{1} = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{1}{2} e_{1 i}^{2} + \frac{β_{i}}{2} δ_{1 i}^{2}]

（34）

式中： $β_{i}$ 为积分增益，对式（34）关于时间求导并将式（31）和式（33）代入，得到：

\begin{array}{l} {\dot{V}}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} {\dot{e}}_{1 i} + β_{i} δ_{1 i} {\dot{δ}}_{1 i}) = \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} ({\dot{e}}_{1 i} + β_{i} δ_{1 i})) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} (x_{2 i} - {\dot{x}}_{1 i r e f} + β_{i} δ_{1 i})) \end{array}

（35）

为了让系统稳定， ${\dot{V}}_{1}$ 须满足是半负定的，即 ${\dot{V}}_{1} \leq 0$ ，令

x_{2 i} - {\dot{x}}_{1 i r e f} + β_{i} δ_{1 i} = - c_{1 i} e_{1 i}

（36）

式中： $c_{1 i}$ 为控制增益，此时

{\dot{V}}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2}) \leq 0

（37）

现在将 $x_{2 i}$ 状态视为虚拟控制量并用 $σ_{i}$ 表示，其是下一状态的期望速度，求解式（36）得到：

σ_{i} = {\dot{x}}_{1 i r e f} - c_{1 i} e_{1 i} - β_{i} δ_{1 i}

（38）

步骤2 定义动力单元i的速度误差

e_{2 i} = x_{2 i} - σ_{i}

（39）

根据式（39），式（31）可改写为：

{\dot{e}}_{1 i} = e_{2 i} + σ_{i} - {\dot{x}}_{1 i r e f}

（40）

此时

\begin{array}{l} {\dot{V}}_{1} = \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} ({\dot{e}}_{1 i} + β_{i} δ_{1 i})) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} (e_{2 i} + σ_{i} - {\dot{x}}_{1 i r e f} + β_{i} δ_{1 i})) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} (e_{2 i} + {\dot{x}}_{1 i r e f} - c_{1 i} e_{1 i} - β_{i} δ_{1 i} - {\dot{x}}_{1 i r e f} + β_{i} δ_{1 i})) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (e_{1 i} (e_{2 i} - c_{1 i} e_{1 i})) = \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{1 i} e_{2 i}) \end{array}

（41）

对式（39）求导得到：

{\dot{e}}_{2 i} = {\dot{x}}_{2 i} - {\dot{σ}}_{i}

（42）

对式（38）求导得到：

{\dot{σ}}_{i} = {\ddot{x}}_{1 i r e f} - c_{1 i} {\dot{e}}_{1 i} - β_{i} {\dot{ε}}_{1 i} = {\ddot{x}}_{1 i r e f} - c_{1 i} {\dot{e}}_{1 i} - β_{i} e_{1 i}

（43）

将式（43）代入式（42），得：

\begin{array}{l} {\dot{e}}_{2 i} = {\dot{x}}_{2 i} - ({\ddot{x}}_{1 i r e f} - c_{1 i} {\dot{e}}_{1 i} - β_{i} e_{1 i}) = \\ {\dot{x}}_{2 i} - {\ddot{x}}_{1 i r e f} + c_{1 i} {\dot{e}}_{1 i} + β_{i} e_{1 i} \end{array}

（44）

构造第二个Lyapunov函数 $V_{2}$ 为：

V_{2} = V_{1} + \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{2} e_{2 i}^{2})

（45）

对式（45）关于时间求导，得

\begin{array}{l} {\dot{V}}_{2} = {\dot{V}}_{1} + \sum_{i = 1}^{n} (e_{2 i} {\dot{e}}_{2 i}) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{1 i} e_{2 i} + e_{2 i} {\dot{e}}_{2 i}) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{1 i} e_{2 i} + e_{2 i} ({\dot{x}}_{2 i} - {\dot{σ}}_{i})) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{1 i} e_{2 i} + e_{2 i} (b_{0 i} u_{i} + x_{3 i} - {\dot{σ}}_{i})) = \\ \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{2 i} (e_{1 i} + b_{0 i} u_{i} + x_{3 i} - {\dot{σ}}_{i})) \end{array}

（46）

为了使系统稳定，须满足 ${\dot{V}}_{2} \leq 0$ ，令

e_{1 i} + b_{0 i} u_{i} + x_{3 i} - {\dot{σ}}_{i} = - c_{2 i} e_{2 i}

（47）

此时

{\dot{V}}_{2} = \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} - c_{2 i} e_{2 i}^{2}) \leq 0

（48）

由式（47）解得 $u_{i}$ 为：

u_{i} = \frac{{\dot{σ}}_{i} - e_{1 i} - c_{2 i} e_{2 i} - x_{3 i}}{b_{0 i}}

（49）

由于状态 $x_{1 i} 、 x_{2 i} 、 x_{3 i}$ 分别由扩张状态观测器进行估计，因此最终的控制律 $u_{i}$ 为：

\{\begin{array}{l} e_{1 i} = r - z_{1 i} \\ e_{2 i} = \dot{r} - z_{2 i} \\ σ_{i} = \dot{r} + c_{1 i} e_{1 i} + β_{i} δ_{1 i} \\ u_{i} = \frac{{\dot{σ}}_{i} + e_{1 i} + c_{2 i} e_{2 i} - z_{3 i}}{b_{0 i}} \end{array}

（50）

式中：r为系统的期望输入.

至此，式（16）中的线性跟踪微分器、式（23）中的线性扩张状态观测器、式（50）中的控制律构成了整个积分反步线性自抗扰控制算法，利用其对列车速度进行跟踪控制.

3 稳定性分析

3.1 LESO收敛性分析

$ε = [ε_{1} ε_{2} ε_{3}]^{T}$ 为估计误差，由式（7）与式（22）得到：

\{\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{1} = {\dot{x}}_{1} - {\dot{z}}_{1} = x_{2} - z_{2} - β_{1} (x_{1} - z_{1}) = ε_{2} - β_{1} ε_{1} \\ {\dot{ε}}_{2} = {\dot{x}}_{2} - {\dot{z}}_{2} = x_{3} - z_{3} - β_{2} (x_{1} - z_{1}) = ε_{3} - β_{2} ε_{1} \\ {\dot{ε}}_{3} = {\dot{x}}_{3} - {\dot{z}}_{3} = \dot{f} - β_{2} (y - z_{1}) = h - β_{3} ε_{1} \end{array}

（51）

令 $η_{i} (t) = ε_{i} (t) / w_{0}^{i - 1} (i = 1,2, 3),$ 代入式（51）得：

\{\begin{array}{l} {\dot{η}}_{1} = - β_{1} η_{1} + w_{0} η_{2} \\ {\dot{η}}_{2} = - (β_{2} / w_{0}) η_{1} + w_{0} η_{3} \\ {\dot{η}}_{3} = - (β_{3} / w_{0}^{2}) η_{1} + h / w_{0}^{2} \end{array}

（52）

将选择的增益参数代入式（52），得：

\dot{η} = w_{0} A_{1} η + B_{1} h / w_{0}^{2}

（53）

式中： $η = [\begin{matrix} η_{1} \\ η_{2} \\ η_{3} \end{matrix}], A_{1} = [\begin{matrix} - 6 & 1 & 0 \\ - 12 & 0 & 1 \\ - 8 & 0 & 0 \end{matrix}], B_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] .$

定理1 假定 $h$ 有界，则 $\exists M_{i} > 0 (i = 1,2, 3)$ ，当 $t \geq T$ 时 $|ε_{i} (t)| \leq M_{i}$ ； $M_{i}$ 和 $w_{0}$ 有关，且 $d M_{i} / d w_{0} < 0$ ，其中

\{\begin{array}{l} \begin{array}{l} M_{1} = |ε_{1} (0)| / w_{0}^{3} + |ε_{2} (0)| / w_{0}^{4} + \\ |ε_{3} (0)| / w_{0}^{5} + H / 8 w_{0}^{3}, \end{array} \\ \begin{array}{l} M_{2} = |ε_{1} (0)| / w_{0}^{2} + |ε_{2} (0)| / w_{0}^{3} + \\ |ε_{3} (0)| / w_{0}^{4} + 3 H / 4 w_{0}^{2}, \end{array} \\ \begin{array}{l} M_{3} = |ε_{1} (0)| / w_{0} + |ε_{2} (0)| / w_{0}^{2} + \\ |ε_{3} (0)| / w_{0}^{3} + 3 H / 2 w_{0} \end{array} \end{array}

（54）

证式（53）的解为：

η (t) = e^{w_{0} A_{1} t} η (0) + \int_{0}^{t} e^{w_{0} A_{1} (t - τ)} B_{1} \frac{h}{w_{0}^{2}} d τ

（55）

令

q (t) = \int_{0}^{t} e^{w_{0} A_{1} (t - τ)} B_{1} \frac{h}{w_{0}^{2}} d τ = [\begin{matrix} q_{1} (t) \\ q_{2} (t) \\ q_{3} (t) \end{matrix}]

（56）

$w_{0} A_{1}$ 的特征值为 $- 2 w_{0}$ （3重），从而得到：

\begin{array}{l} e^{w_{0} A_{1} (t - τ)} = e^{- 2 w_{0} (t - τ)} \sum_{k = 0}^{2} \frac{{(t - τ)}^{k}}{k!} w_{0}^{k} {(A_{1} + 2 I_{3})}^{k} = \\ e^{- 2 w_{0} (t - τ)} [\begin{matrix} \cdot & \cdot & \frac{{(t - τ)}^{2}}{2} w_{0}^{2} \\ \cdot & \cdot & p_{1} (τ) \\ \cdot & \cdot & p_{2} (τ) \end{matrix}] \end{array}

（57）

式中： $I_{3}$ 是3阶单位阵，而

\{\begin{array}{l} p_{1} (τ) = (t - τ) w_{0} + 2 {(t - τ)}^{2} w_{0}^{2} \\ p_{2} (τ) = 1 + 2 (t - τ) w_{0} + 2 {(t - τ)}^{2} w_{0}^{2} \end{array}

将式（57）代入式（56），得到：

\{\begin{array}{l} q_{1} (t) = \frac{1}{w_{0}^{2}} \int_{0}^{t} \frac{{(t - τ)}^{2} w_{0}^{2}}{2} h (τ) e^{- 2 w_{0} (t - τ)} d τ \\ q_{2} (t) = \frac{1}{w_{0}^{2}} \int_{0}^{t} p_{1} (τ) h (τ) e^{- 2 w_{0} (t - τ)} d τ \\ q_{3} (t) = \frac{1}{w_{0}^{2}} \int_{0}^{t} p_{2} (τ) h (τ) e^{- 2 w_{0} (t - τ)} d τ \end{array}

（58）

因为 $h (τ)$ 有界，则 $\exists H > 0, |h (τ)| \leq H$ ，当 $t > 0$ 时，根据式（58）得到：

\begin{array}{l} |q_{1} (t)| = |\int_{0}^{t} \frac{{(t - τ)}^{2}}{2} h (τ) e^{- 2 w_{0} (t - τ)} d τ| \leq \\ \int_{0}^{t} |\frac{{(t - τ)}^{2}}{2} h (τ) e^{- 2 w_{0} (t - τ)}| d τ \leq \\ \frac{H}{2} \int_{0}^{t} {(t - τ)}^{2} e^{- 2 w_{0} (t - τ)} d τ = \\ \frac{H}{8 w_{0}^{3}} [1 - (2 w_{0}^{2} t^{2} e^{- 2 w_{0} t} + 2 w_{0} t e^{- 2 w_{0} t} + e^{- 2 w_{0} t})] < \frac{H}{8 w_{0}^{3}} \end{array}

（59）

同理可得

|q_{2} (t)| < \frac{3 H}{4 w_{0}^{3}}, |q_{3} (t)| < \frac{3 H}{2 w_{0}^{3}}

（60）

因 $w_{0} A_{1}$ 的特征值为 $- 2 w_{0}$ （3重），故

\begin{array}{l} e^{w_{0} A_{1} t} = e^{- 2 w_{0} t} \sum_{k = 0}^{2} \frac{t^{k}}{k!} w_{0}^{k} {(A_{1} + 2 I_{3})}^{k} = \\ [\begin{matrix} a_{11} (t) & a_{12} (t) & a_{13} (t) \\ a_{21} (t) & a_{22} (t) & a_{23} (t) \\ a_{31} (t) & a_{32} (t) & a_{33} (t) \end{matrix}] \end{array}

（61）

因

\begin{array}{l} \underset{t \to + \infty}{l i m} e^{- 2 w_{0} t} = 0, \underset{t \to + \infty}{l i m} t w_{0} e^{- 2 w_{0} t} = 0, \\ \underset{t \to + \infty}{l i m} t^{2} w_{0}^{2} e^{- 2 w_{0} t} = 0 \end{array}

（62）

故 $\underset{t \to + \infty}{l i m} a_{i j} (t) = 0 (i, j = 1,2, 3)$ ，所以当 $t \geq T$ 时，

|a_{i j} (t)| \leq 1 / w_{0}^{3}

（63）

将式（56）与式（61）代入式（55），得到：

\begin{array}{l} η (t) = e^{w_{0} A_{1} t} η (0) + q (t) = \\ [\begin{matrix} a_{11} (t) & a_{12} (t) & a_{13} (t) \\ a_{21} (t) & a_{22} (t) & a_{23} (t) \\ a_{31} (t) & a_{32} (t) & a_{33} (t) \end{matrix}] [\begin{matrix} η_{1} (0) \\ η_{2} (0) \\ η_{3} (0) \end{matrix}] + [\begin{matrix} q_{1} (t) \\ q_{2} (t) \\ q_{3} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} η_{1} (t) \\ η_{2} (t) \\ η_{3} (t) \end{matrix}] \end{array}

（64）

下面分析各状态变量的估计误差.结合式（63）与式（59），得到：

\begin{array}{l} |η_{1} (t)| \leq |a_{11} (t) η_{1} (0)| + |a_{12} (t) η_{2} (0)| + \\ |a_{13} (t) η_{3} (0)| + |q_{1} (t)| \leq \\ \frac{1}{w_{0}^{3}} (|η_{1} (0)| + |η_{2} (0)| + |η_{3} (0)|) + \frac{H}{8 w_{0}^{3}} \end{array}

（65）

由 $η_{i} (t) = ε_{i} (t) / w_{0}^{i - 1}$ 得到：

\begin{array}{l} η_{1} (t) = ε_{1} (t), η_{1} (0) = ε_{1} (0), η_{2} (0) = ε_{2} (0) / w_{0}, \\ η_{3} (0) = ε_{3} (0) / w_{0}^{2} \end{array}

并将其代入式（65），得：

|ε_{1} (t)| \leq \frac{|ε_{1} (0)|}{w_{0}^{3}} + \frac{|ε_{2} (0)|}{w_{0}^{4}} + \frac{|ε_{3} (0)|}{w_{0}^{5}} + \frac{H}{8 w_{0}^{3}} = M_{1}

（66）

\frac{d M_{1}}{d w_{0}} = - 3 \frac{|ε_{1} (0)|}{w_{0}^{4}} - 4 \frac{|ε_{2} (0)|}{w_{0}^{5}} - 5 \frac{|ε_{3} (0)|}{w_{0}^{6}} - \frac{3 H}{8 w_{0}^{4}} < 0

（67）

同理可得：

|ε_{2} (t)| \leq M_{2}, \frac{d M_{2}}{d w_{0}} < 0, |ε_{3} (t)| \leq M_{3}, \frac{d M_{3}}{d w_{0}} < 0

（68）

由式（67）和式（68）可以看出，当总扰动的导数有界时，LESO 估计误差有界，估计误差与观测器带宽 $w_{0}$ 有关，适当增大 $w_{0}$ 可减小估计误差.理论上当 $w_{0}$ 充分大时估计误差接近于零，但此时对噪声较敏感会放大量测噪声.

3.2 闭环系统稳定性

对于式（45）所示Lyapunov函数，由于 $β_{i} > 0$ ，对于 $[e_{1 i}, e_{2 i}] \neq 0$ ， $V_{2} > 0$ ；在式（50）控制律的作用下，当观测器无扰动估计误差时 ${\dot{V}}_{2} = \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} - c_{2 i} e_{2 i}^{2}) \leq 0$ 可直接保证闭环系统渐进稳定.但由式（68）可知LESO实际是存在扰动估计误差的，此时：

\begin{array}{l} {\dot{V}}_{2} = \sum_{i = 1}^{n} \{- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{2 i} (e_{1 i} + b_{0 i} u_{i} + x_{3 i} - {\dot{σ}}_{i})\} = \\ \sum_{i = 1}^{n} \{- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{2 i} (e_{1 i} + b_{0 i} \frac{{\dot{σ}}_{i} - e_{1 i} - c_{2 i} e_{2 i} + ε_{3 i} - x_{3 i}}{b_{0 i}} + \\ x_{3 i} - {\dot{σ}}_{i})\} = \sum_{i = 1}^{n} \{- c_{1 i} e_{1 i}^{2} + e_{2 i} (- c_{2 i} e_{2 i} + ε_{3 i})\} \leq \\ \sum_{i = 1}^{n} (- c_{1 i} e_{1 i}^{2} - c_{2 i} e_{2 i}^{2} + |M_{3} e_{2 i}|) = \\ \sum_{i = 1}^{n} \{- c_{1 i} e_{1 i}^{2} - |e_{2 i}| (c_{2 i} |e_{2 i}| - |M_{3}|)\} \end{array}

（69）

由于 $M_{3}$ 为扰动估计误差上界且随着 $w_{0}$ 的增大而减小，同时c₁_i>0、c₂_i>0，有界的M₃无论多大，在c₂_i足够大的前提下有 $c_{2 i} |e_{2 i}| > |M_{3}|$ ，此时 ${\dot{V}}_{2} \leq 0$ 可实现闭环系统稳定.在实际应用时，可调节 $w_{0}$ 的值使观测器的观测效果较好从而M₃较小，此时只需适当取大c₂_i的值，使 $c_{2 i} |e_{2 i}| > |M_{3}|$ 从而使系统稳定.

4 仿真验证

为了验证本文所设计的IBS-LADRC在动车组自动驾驶控制方面的有效性，以杭州地铁6号线4动2拖6节编组的AH型动车组为仿真对象，具体编组类型为“ $= T c - M p - M - M - M p - T c =$ ”，首尾两端采用全自动钩缓装置，中间采用半永久钩缓装置，缓冲器均为弹性胶泥型.利用Simulink工具搭建控制器模块进行了仿真，将本文控制方法与采用PD控制的经典LADRC、反步控制（BS）及PID控制进行对比.AH型电客车及钩缓装置的主要参数如表1与表2所示.

表1 AH型动车组参数

Tab.1 Parameters of AH EMU

参数名称	参数值	单位
空载质量（AW0）	Tc： 34	t
空载质量（AW0）	Mp/M： 36	t
满载质量（AW2）	Tc： 55.6	t
满载质量（AW2）	Mp/M： 59.1	t
列车总长度	120.214	m
头车长度	21.067	m
中间车长度	19.520	m
列车构造速度	115	km/h
最高运行限速	80	km/h
回转质量系数	0.11	—
单位基本阻力	1.08+0.008v+0.000 96v²	N/kN
最大牵引加速度	AW2：1.15	m/s²
最大牵引加速度	AW0：1.25	m/s²
最大制动减速度	1.3	m/s²

注： “—”代表无单位

表2 钩缓装置参数

Tab.2 Parameters of coupling buffer device

参数名称	参数值	单位
弹性系数	7 000	N/m
阻尼系数	252	N·s/m
纵向压缩屈服强度	1 250	kN
纵向拉伸屈服强度	850	kN
额定行程	58	mm

将AH型动车组划分为3个动力单元，每个单元均包含带有牵引机构提供动力的车厢，如图4所示.

图4 AH型动车组动力单元分布

Fig.4 Power unit distribution of AH EMUs

模拟列车在140 s时间内的运行过程，最高运行速度为72 km/h，站间运行里程2 126.5 m，期望速度曲线如图5所示，全程包括2个巡航阶段、2个加速阶段、1个减速阶段.

图5 期望速度曲线

Fig.5 Expected velocity curve

为了模拟更加复杂的路况，运行线路包括隧道和高架线路，在高架线路段列车受到阵风的作用，顺风、逆风环境交替变化，用以下方程描述阵风 $d (t)$ 的时变特性：

d (t) = \{\begin{array}{l} - 0.5 (1 + c o s (t)), 20 \leq t \leq 60 \\ 0, 其他 \end{array}

（70）

实际的列车动力学会随着降雨、阵风、乘客走动等外界环境变化的而改变，致使Davis方程的系数和车厢的质量是时变的.用正余弦时变函数来模拟列车参数的变化，初始参数如表1所示，在初始参数的基础上发生时变，时变系数设置为：

\begin{array}{l} a_{0} (t) = a_{0} + r_{0} (t) = 1.08 + 0.11 s i n (0.37 t) \\ a_{1} (t) = a_{1} + r_{1} (t) = 0.008 + 0.000 7 s i n (0.37 t) \\ a_{2} (t) = a_{2} + r_{2} (t) = 0.000 96 + 0.000 1 s i n (0.37 t) \end{array}

（71）

假定车厢质量在满载质量（AW2）的基础上变化，因此每个动力单元的时变质量设置为：

\begin{array}{l} m_{1} (t) = 114.7 + 5 s i n (0.25 t) \\ m_{2} (t) = 118.2 + 10 c o s (0.25 t) \\ m_{1} (t) = 114.7 + 6 s i n (0.25 t) \end{array}

（72）

取外部扰动 $w (t) = 1.1 s i n (0.77 t)$ ，为了验证所设计的IBS-LADRC在复杂路况下对动车组的控制性能，选取如图6所示的某站间真实线路数据.

图6 线路状况

Fig.6 Road condition

4.1 IBS-LADRC控制器仿真

首先，验证本文所设计的IBS-LADRC控制算法对于动车组列车控制的有效性.经过调试，3个动力单元的控制器参数最终选取如表3所示.

表3 IBS-LADRC控制器参数

Tab.3 Parameters of IBS-LADRC controller

动力单元	k₁	k₂	γ	w₀	β	c₁	c₂
1	1	1.41	200	450	1 000	245	36
2	1	1.76	200	450	830	245	36
3	1	1.41	200	450	1 000	245	36

IBS-LADRC控制策略下3个动力单元的速度与位移跟踪效果如图7和图8所示.IBS-LADRC能够使动车组按照目标速度曲线和位移曲线运行.图9为各动力单元的速度跟踪误差，虽然在运行过程中动车组的系数是时变的，但速度跟踪误差相对较小，除个别时刻外，速度误差曲线整体变化较光滑、无振荡，表明IBS-LADRC能够有效地抵消时变系数对城轨列车运行的不利影响.整体速度误差处在［-0.035 4， 0.036 1］ km/h内，在60 s处各动力单元速度误差突增，是由于目标速度曲线不光滑导致的；动力单元2的速度误差略大.图10为各动力单元位移跟踪误差，全程最大位移误差为0.20 m，末时刻的位移误差能够体现停车精度，在末时刻140 s处各动力单元的位移误差几乎为零，说明停车精度较好.

图7 IBS-LADRC速度跟踪曲线

Fig.7 Velocity tracking curve of IBS-LADRC

图8 IBS-LADRC位移跟踪曲线

Fig.8 Displacement tracking curve of IBS-LADRC

图9 IBS-LADRC速度跟踪误差

Fig.9 Velocity tracking error of IBS-LADRC

图10 位移跟踪误差

Fig.10 Displacement tracking error of IBS-LADRC

图11为车钩力变化情况，最大车钩力约为2 kN，无论是拉钩力还是压钩力均处在最大压缩/拉伸屈服强度以内.同时车钩力的整体变化趋势也相对平滑，车钩力振荡较小，有利于保证车钩安全、防止车钩断裂.

图11 车钩力变化

Fig.11 Change of coupler force

由于LESO用于对总扰动进行估计补偿，其扰动观测能力体现了系统的抗扰能力，也影响动车组的实际速度控制精度，仿真中将车间耦合力项、时变基本阻力项、附加阻力项、阵风及外部扰动归结为总扰动，其估计效果如图12所示.LESO整体上能比较精确地估计总扰动，在约20 s处估计误差突增，是由于运行环境突变导致的.

（a）扰动估计值

（b）扰动估计误差

图12 扰动估计效果

Fig.12 Effect of disturbance estimation

4.2 控制性能对比分析

为了进一步体现本文控制方法的优势，将经典LADRC、BS反步控制、PID与本文IBS-LADRC控制方法进行仿真对比.

1） LADRC控制器：LADRC与IBS-LADRC的区别仅在于反馈控制律u₀，LADRC的反馈控制律采用的是PD控制，具体形式为

u_{0} = k_{p} (r - z_{1}) + k_{d} (\dot{r} - z_{2})

（73）

2）BS反步控制器：

u = (\dot{σ} + e_{1} + c_{2} e_{2}) / b

（74）

式中： $σ = \dot{r} + c_{1} e_{1} + β δ_{1}$ .

3）PID控制器：

u = k_{p} e (t) + k_{i} \int e (t) d t + k_{d} \dot{e} (t)

（75）

对于以上3类控制方法，参数选取如表4所示.

表4 不同方法的控制器参数

Tab.4 Controller parameters of different methods

控制方法

参数选取

LADRC

动力单元1：k_p=400，k_d=40；

动力单元2：k_p=361，k_d=38；

动力单元3：k_p=200，k_d=40

动力单元1：c₁=240，c₂=32，β=2 000；

动力单元2：c₁=240，c₂=32，β=830；

动力单元3：c₁=240，c₂=32，β=2 000

PID

动力单元1：k_p=30，k_i=0.319，k_d=606.546；

动力单元2：k_p=33，k_i=0.721，k_d=720.546；

动力单元3：k_p=125.815，k_i=11.313，k_d=9.403

以动力单元1为例，经典LADRC、BS及PID不同方法下的速度误差对比如图13所示，各性能指标对比见表5.表5中，IAE和RMSE指标的计算公式如式（76）和式（77）所示：

I A E = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} |v_{d} (t) - v_{k} (t)|

（76）

R M S E = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} \sqrt[]{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} (v_{d} (t) - v_{k} {(t))}^{2}}

（77）

式中：N为动力单元数量，k代表第k个动力单元，T为运行总时间.

图13 不同方法下的速度跟踪误差对比

Fig.13 Comparison of speed tracking errors under different methods

表5 性能指标对比

Tab.5 Comparison of performance indicators

控制器	最大正速度误差/（km·h^-1）	最大负速度误差/（km·h^-1）	速度误差绝对值积分（IAE）	均方根速度误差（RMSE）
PID	0.021	-0.022	1.209	0.010 89
BS	0.036	-0.034	1.552	0.017 05
LADRC	0.038	-0.101	1.442	0.017 23
IBS-LADRC	0.036	-0.035	1.440	0.016 91

由图13与表5可知：虽然PID控制下速度误差范围最小，但时变扰动和时变参数的存在导致其速度误差存在明显的振荡，不利于列车的平稳运行，舒适性最差，这也说明其抗扰能力最差.反步控制下的速度误差虽较PID振荡小，但相较LADRC和IBS-LADRC仍存在明显波动；LADRC和IBS-LADRC的速度误差整体变化趋势较平滑几乎无振荡，但IBS-LADRC的最大速度误差比LADRC更小.从放大图可看出，相比于LADRC，IBS-LADRC在120 s左右处的速度误差略小，初始误差及60 s左右处的误差明显小于LADRC方法下的.

不同控制策略下的位移误差对比如图14所示.虽然PID方法下的位移误差范围最小，但末时刻的位移误差明显最大，停车精度最低.LADRC和IBS-LADRC方法下的末时刻位移误差最小几乎趋于零，停车精度较高.

图14 不同方法下的位移跟踪误差对比

Fig.14 Comparison of displacement tracking errors under different methods

图15为不同控制方法下的加速度变化情况对比，加速度变化情况可体现乘客舒适度.PID方法下加速度变化范围最大为［-1，1.327 2］ m/s²，在初始启动阶段加速度较大，达到了1.327 2 m/s²，在60 s左右处加速度也最大，达到了1.142 m/s²，舒适度最差.LADRC控制策略下加速度范围为［-1，1.115］ m/s²，60 s左右处的加速度也大于1 m/s²，舒适度欠佳.BS方法下加速度虽处在［-1，1］ m/s²之间变化，在某些目标匀速时段其他方法加速度保持不变而BS方法存在明显的波动，舒适度同样欠佳.IBS-LADRC方法下加速度处在［-1，1］ m/s²之间，舒适性较好^［

8］，整体变化较平缓有利于动车组的平稳运行.

图15 不同方法下的加速度变化对比

Fig.15 Comparison of acceleration changes under different methods

图16为不同控制方法下的车钩力变化对比，PID方法下车钩力变化范围最大，最大车钩力较大.IBS-LADRC方法下，车钩力变化范围最小变化趋势也最平缓，这有利于保证车钩安全，防止车钩断裂，提升列车运行的安全性、平稳性.

图16 不同方法下的车钩力变化对比

Fig. 16 Comparison of coupler force changes under different methods

5 结论

1）考虑列车具有强耦合、非线性、参数不确定性等动态特性，建立了具有时变系数的多质点模型，提出了列车速度IBS-LADRC控制策略，利用TD对虚拟控制量进行求导，解决了反步法中存在的“微分爆炸”问题.

2） IBS-LADRC控制方法可精确控制列车速度，速度误差处在（-0.036，0.040） km·h^-1间.相较于PID、BS及LADRC，IBS-LADRC的抗扰能力更强，并且速度误差及加速度整体变化趋势更加平稳，提高了动车组运行的平稳性及乘客舒适度.车间耦合力处在钩缓装置最大压缩/拉伸屈服强度以内并且振荡较小，有利于保证车钩安全，防止车钩断裂.LESO可精确估计由车间耦合力项、时变基本阻力项、附加阻力项、阵风及外部扰动构成的总扰动，并对其进行补偿.

3）相较于传统NLADRC列车速度控制策略，IBS-LADRC在结合积分反步法与线性自抗扰两者优点的同时减少了可调参数，可在复杂路况下实现速度的精确跟踪，具有工程应用参考价值.

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城轨列车自动驾驶积分反步线性自抗扰控制 PDF

摘要

关键词

1 列车动力学建模

1.1 运行阻力

1.2 车厢间耦合力

1.3 动力单元动力学建模

1.4 多质点模型

2 积分反步线性自抗扰控制器设计

2.1 线性跟踪微分器设计

2.2 线性扩张状态观测器

2.3 控制律设计

3 稳定性分析

3.1 LESO收敛性分析

3.2 闭环系统稳定性

4 仿真验证

4.1 IBS-LADRC控制器仿真

4.2 控制性能对比分析

5 结论

参考文献

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摘要

关键词

1 列车动力学建模

1.1 运行阻力

1.2 车厢间耦合力

1.3 动力单元动力学建模

1.4 多质点模型

2 积分反步线性自抗扰控制器设计

2.1 线性跟踪微分器设计

2.2 线性扩张状态观测器

2.3 控制律设计

3 稳定性分析

3.1 LESO收敛性分析

3.2 闭环系统稳定性

4 仿真验证

4.1 IBS-LADRC控制器仿真

4.2 控制性能对比分析

5 结 论

参考文献

5 结论